elle-même aussi grande, et peut-être quelquefois plus grande que celle de résoudre l’équation.
À la méthode de Viète a succédé celle de Newton, qui n’est proprement qu’une méthode d’approximation, puisqu’elle suppose que l’on ait déjà la valeur de la racine qu’on cherche, à une quantité près moindre que sa dixième partie ; alors on substitue cette valeur plus une nouvelle inconnue à l’inconnue de l’équation proposée, et l’on a une seconde équation dont la racine est ce qui reste à ajouter à la première valeur pour avoir la valeur exacte de la racine cherchée ; mais, à cause de la petitesse supposée de ce reste, on néglige dans la nouvelle équation le carré et les puissances plus hautes de l’inconnue ; et l’équation étant ainsi rabaissée au premier degré, on a sur-le-champ la valeur de l’inconnue. Cette valeur ne sera encore qu’approchée ; mais on pourra s’en servir pour en trouver une autre plus exacte, en faisant sur la seconde équation la même opération que sur la première, et ainsi de suite. De cette manière, on trouve à chaque opération une nouvelle quantité à ajouter ou à retrancher de la valeur déjà trouvée, et l’on a la racine d’autant plus exacte qu’on pousse le caleul plus loin.
Telle est la méthode que l’on emploie communément pour résoudre les équations numériques ; mais elle ne sert, comme l’on voit, que pour celles qui sont déjà à peu près résolues. De plus, elle n’est pas toujours sûre ; car, en négligeant à chaque opération des termes dont on ne connaît pas la valeur, il est impossible de juger du degré d’exactitude de chaque nouvelle correction, et il peut arriver, dans les équations qui ont des racines presque égales, que la série soit très-peu convergente, ou qu’elle devienne même divergente après avoir été convergente[1]. Enfin, elle a encore l’inconvénient de ne donner que
- ↑ Voir la Note V.
