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ou bien jusqu’à ce que l’on parvienne à une transformée qui soit dans le cas du n^o 83.

Au reste, comme, en augmentant toutes les racines d’une équation dans une raison quelconque, on augmente aussi dans la même raison les différences entre ces racines, il est clair que si, dans l’équation proposée, on met ${\frac {x}{f}}$ à la place de $x,$ ce qui en augmentera les racines en raison de $1:f,$ les nombres $\Delta$ et $\Pi ,$ qui conviendront à la nouvelle équation, en seront augmentés dans la même raison, et par conséquent deviendront $f\Delta$ et $f\Pi \,;$ donc on pourra faire en sorte que la condition du n^o 85 soit vérifiée en donnant à $f$ une valeur telle que

${\frac {\mu -1}{f\Delta -1}}+{\frac {\nu }{f\Pi }}=\quad {\text{ou}}\quad <{\frac {1}{2}}.$

Alors on pourra toujours se servir de la méthode du numéro cité pour approchersans tâtonnement de la valeur cherchée de $x\,;$ il faudra seulement diviser ensuite cette valeur par $f$ pour avoir la véritable racine de l’équation proposée ; il est vrai que, de cette manière, on n’aura plus cette racine exprimée par une simple fraction continue, mais on pourra néanmoins en approcher aussi près qu’on voudra, ce qui suffit pour l’usage ordinaire.

87. Soit l’équation proposée

$x^{n}-\mathrm {A} =0,$

en sorte que l’on demande la racine $n$^ième du nombre $\mathrm {A} .$

1^o Soit $n$ pair et $=2m\,;$ l’équation aura, comme on sait, deux racines réelles, $+{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}$ et $-{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$ et $n-2$ racines imaginaires qui seront exprimées ainsi

$\left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

$c$ étant la circonférence ou l’angle de $360$ degrés, et $s$ étant successivement égal à $1,\ 2,\ 3,\ldots ,$ jusqu’à $m-1\,;$ donc on aura dans ce