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cas (n^o 84) $\mu =2,\ \nu =m-1,$ et l’on pourra prendre

$\Delta =2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},\quad \Pi =\sin {\frac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

à cause que $\sin {\frac {c}{n}}$ est le plus petit de tous les $\sin {\frac {sc}{n}}\,;$ donc la condition du n^o 85 aura lieu si

${\cfrac {1}{2{\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}-1}}+{\cfrac {m-1}{\sin {\cfrac {c}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}}\,;$

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois qu’on aura

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n}{\sin {\cfrac {360^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.$

2^o Soit $n$ impair et $=2m+1\,:$ l’équation n’aura qu’une seule racine réelle ${\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$ et elle en aura $2m$ imaginaires de la forme

$\left(\cos {\frac {sc}{n}}\pm \sin {\frac {sc}{n}}{\sqrt {-1}}\right){\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }},$

en faisant successivement $s=1,\ 2,\ldots$ jusqu’à $m\,;$ donc on aura dans ce cas $\mu =1,\ \nu =m,$ et, comme le plus petit des $\sin {\frac {sc}{n}}$ est $\sin {\frac {mc}{n}}$ ou $\sin {\frac {180^{\circ }}{n}},$ à cause de $n=2m+1,$ on pourra prendre

$\Pi =\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}\,;$

de sorte que la condition du numéro cité aura lieu si

${\cfrac {m}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}\times {\sqrt[{n}]{\mathrm {A} }}}}=\ \ {\text{ou}}\ \ <{\cfrac {1}{2}},$

c’est-à-dire si l’on a

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >\left({\cfrac {n-1}{\sin {\cfrac {180^{\circ }}{n}}}}\right)^{n}.$