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Donc, lorsque le nombre $\mathrm {A}$ ne sera pas au-dessous des limites que nous venons de trouver, on pourra toujours, en faisant usage de la méthode du n^o 85, trouver directement et sans tâtonnement la racine $n$^ième de ce nombre ; et, s’il est plus petit que ces limites, on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant $n\,;$ en sorte qu’après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n’y aura plus qu’à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de $\mathrm {A} .$

Quant à la valeur de $\mathrm {R}$ (n^o 83), elle sera, pour l’équation $x^{n}-\mathrm {A} =0,$

88. Puisque le cas de $n=2$ peut se résoudre par la méthode de l’article II ci-dessus, nous en ferons abstraction ici. Soient donc

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=4,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{4}}=1,$

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >4^{4}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=6,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{6}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$,

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >3^{3}.4^{6}\,;$

3^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=8,\$ on aura $\ \sin {\frac {360^{\circ }}{8}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$,

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >2^{4}.4^{8}\,;$

et ainsi de suite.

De même, si l’on fait

1^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=3,\$ on aura $\ \sin {\frac {180^{\circ }}{3}}={\frac {\sqrt {3}}{2}},$

donc

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >{\frac {4^{3}}{3{\sqrt {3}}}}\,;$

2^o$\qquad \qquad \qquad \qquad n=5,\$ on aura $\ \sin {\frac {180^{\circ }}{5}}=\sin 36^{\circ },$