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et, faisant le calcul par les logarithmes, on trouvera

$\mathrm {A} =\ \ {\text{ou}}\ \ >14595,$

et ainsi de suite.

89. Supposons, parexemple, qu’on demande la racine cubique de $17\,;$ puisque $17$ est $>{\frac {4^{3}}{3{\sqrt {3}}}},$ à cause de $3{\sqrt {3}}>4,$ on pourra employer d’abord la méthode du n^o 85. On aura donc ici, à cause de $n=3$ et $\mathrm {A} =17$ (n^o 87),

$\mathrm {R} ={\frac {3\rho ^{2}}{\rho ^{3}-17\rho '^{3}}}.$

Or, le nombre entier le plus proche de ${\sqrt[{3}]{17}}$ est $2$ ou $3,$ de sorte qu’on pourra faire à volonté $p=2$ ou $p=3.$

Faisons $p=2,$ et les premières fractions seront ${\frac {1}{0}},{\frac {2}{1}}\,;$ donc

1^o$\qquad \qquad \qquad \quad \varpi =1,\quad \varpi '=0,\quad \rho =2,\quad \rho '=1\,;$

donc

$\mathrm {R} ={\frac {3.4}{8-17}}=-{\frac {4}{3}},$

et le nombre entier qui approche le plus de

${\frac {-\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {4}{3}}$

sera $1\,;$ donc $k=1,$ ce qui donne la fraction

${\frac {kp+1}{k}}={\frac {3}{1}}.$

2^o$\quad \qquad \qquad \qquad \varpi =2,\quad \varpi '=1,\quad \rho =3,\quad \rho '=1$

donc

$\mathrm {R} ={\frac {3.9}{10}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\mathrm {R} -\varpi '}{\rho '}}={\frac {17}{10}}\,;$

le nombre entier qui approche le plus de ${\frac {17}{10}}$ étant $2,$ on fera $k'=2,$ ce