NOTE II.
SUR LA DÉMONSTRATION DU THÉORÈME II.
La démonstration de ce théorème (no 5) suppose ces deux propositions, que toute équation peut se décomposer en autant de facteurs simples réels qu’elle a de racines réelles, et que le facteur restant, si le nombre de ces racines est moindre que l’exposant du degré de l’équation, est tel qu’il ne peut jamais devenir négatif, quelque valeur qu’on donne à l’inconnue. La première proposition a été longtemps admise par les analystes comme un résultat de la formation des équations, et d’Alembert est, je crois, le premier qui ait fait sentir la nécessité de la démontrer rigoureusement. À l’égard de la seconde, on pourrait la regarder comme une conséquence de la première mais, pour ne rien laisser à désirer sur la rigueur, il est bon de la démontrer aussi en particulier.
Représentons, en général, par un polynôme quelconque en du degré tel que
Si l’on change en il deviendra et il est facile de voir que la différence de ces deux polynômes semblables sera divisible par car chaque terme du polynôme comme donnera dans la différence les termes or on a, en général, tant que est un nombre entier positif,
