et le polynôme ne sera plus résoluble en facteurs simples réels. Donc, quelque valeur qu’on donne à ce polynôme ne pourra jamais avoir une valeur négative ; car, s’il y avait une valeur de qui pût le rendre négatif, comme d’un autre côté on peut toujours prendre assez grand pour que le premier terme surpasse la somme de tous les autres, il s’ensuivrait, qu’il y aurait deux valeurs qui, étant substituées pour donneraient des résultats de signe différent, et que, par conséquent, par le théorème I, il y aurait une valeur intermédiaire qui pourrait rendre et qui serait ainsi une racine réelle de cette équation ; donc on aurait alors
et le polynôme aurait encore le facteur réel ce qui est contre l’hypothèse. Ce polynôme sera donc nécessairement d’un degré pair, et son dernier terme sera toujours positif (no 3) ; et le polynôme aura, par conséquent, son dernier terme positif ou négatif, suivant que le nombre des racines positives sera pair ou impair.
Non-seulement le polynôme aura toujours une valeur positive lorsque l’équation n’a aucune racine réelle, mais encore quand elle aura des racines réelles doubles ou quadruples, et en général multiples, suivant un nombre pair ; car alors le polynôme aura des facteurs de la forme étant un nombre pair, et il est visible que cette quantité est toujours positive, quelque valeur réelle qu’on donne à D’où il s’ensuit que le théorème II a encore lieu pour les racines égales, triples, quintuples, etc. Mais, comme on a des méthodes particulières pour les racines égales, il suffit de considérer les racines inégales et d’avoir une méthode pour les trouver.
Au reste, l’esprit du calcul algébrique, qui est indépendant des valeurs particulières qu’on peut donner aux quantités, fait qu’on peut regarder tout polynôme comme formé du produit d’autant de facteurs simples qu’il y a d’unités dans l’exposant du degré de ce polynôme, quelles que puissent être
