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d’ailleurs les quantités $a,b,c,\ldots ,$ ce qui donne cette équation identique

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots \pm \mathrm {V} =(x-a)(x-b)(x-c)\ldots ,$

laquelle doit toujours avoir lieu indépendamment de la valeur de $x$.

C’est uniquement dans cette transformation des polynômes que consiste la théorie des équations. On a trouvé différentes relations entre les quantités $a,b,c,\ldots$ des facteurs et les coefficients $\mathrm {A,B,C} ,\ldots$ du polynôme, et ce sont ces relations qui constituent les propriétés générales des équations (voir la Note X).

Les facteurs qu’on suppose aux polynômes qui ne peuvent jamais acquérir une valeur négative sont appelés imaginaires', et les quantités $a,b,c,\ldots$ de ces facteurs sont les racines imaginaires des équations formées en égalant ces polynômes à zéro ; d’où l’on voit que le nombre de ces racines est toujours nécessairement pair, et que leur produit, qui se trouve égal au dernier terme du polynôme, est toujours positif.