NOTE III.
SUR L’ÉQUATION QUE DONNENT LES DIFFÉRENCES ENTRE LES RACINES
D’UNE ÉQUATION DONNÉE, PRISES DEUX À DEUX.
La recherche de cette équation, qui est l’objet du problème du no 8, deviendrait très-pénible si l’on y employait la voie de l’élimination, qui se présente naturellement ; mais, par les formules que j’y donne, elle n’a d’autre difficulté que la longueur du calcul. Tout se réduit à calculer un certain nombre de termes de trois séries dont la loi est assez simple.
1. La première série, celle des quantités n’est autre chose que la série connue pour avoir les sommes des puissances des racines par les coefficients de l’équation donnée, et on en verra la démonstration dans la Note VI. La troisième série, celle des quantités qui forment les coefficients de l’équation cherchée, est l’inverse de la précédente ; elle donne ces coefficients par le moyen des sommes des puissances des racines qu’on a par la seconde série Je n’avais trouvé que par induction la loi des termes de celle-ci ; mais on peut la démontrer d’une manière générale.
Pour cela, il n’y a qu’à considérer la quantité
qui, étant développée suivant les puissances de devient
