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Comme ces deux expressions sont identiques, on y peut faire $x$ tout ce qu’on voudra. Qu’on suppose donc successivement $x=\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ldots ,$ et qu’on ajoute ensemble les résultats de ces substitutions, on aura

$(\alpha -\beta )^{s}+(\alpha -\gamma )^{s}+\ldots +(\beta -\alpha )^{s}+(\beta -\gamma )^{s}+\ldots +(\gamma -\alpha )^{s}+(\gamma -\beta )^{s}+\ldots$

$=m\mathrm {A} _{s}-s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}-{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{s-3}+\ldots ,$

ce qui est évident, puisque, par la notation qu’on a employée, on a, en général,

$\mathrm {A} _{s}=\alpha ^{s}+\beta ^{s}+\gamma ^{s}+\ldots .$

Lorsque $s$ est un nombre impair, il est facile de voir que le premier membre de cette équation devient nul par la destruction mutuelle de tous les termes, et le second membre devient nul aussi de lui-même en remarquant que l’on doit avoir $\mathrm {A} _{0}=\alpha ^{0}+\beta ^{0}+\gamma ^{0}+\ldots =m,$ nombre des racines.

Mais, lorsque $s$ est un nombre quelconque pair $=2\mu ,$ le premier membre devient égal à $2a_{\mu },$ suivant la notation des termes de la seconde série ; ainsi on aura

$2a_{\mu }=m\mathrm {A} _{2\mu }-2\mu \mathrm {A_{1}A} _{2\mu -1}+{\frac {2\mu (2\mu -1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{2\mu -2}-{\frac {2\mu (2\mu -1)(2\mu -2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{2\mu -3}+\ldots .$

Comme les termes de cette série se trouvent les mêmes de part et d’autre du terme du milieu, qui contient $\mathrm {A_{\mu }A_{\mu }} ,$ en réunissant les termes égaux et divisant par $2,$ on aura la formule générale de la valeur de $a_{\mu }$ que j’ai donnée dans l’endroit cité.

2. On pourrait, de la même manière, trouver des formules pour les sommes des racines prises deux à deux ; car, en considérant la quantité

$(x+\alpha )^{s}+(x+\beta )^{s}+(x+\gamma )^{s}+\ldots ,$

on aura, par le développement, cette expression identique

$mx^{s}+s\mathrm {A_{1}} x^{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}} x^{s-2}+{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}} x^{s-3}+\ldots .$