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Donc, faisant successivement $x=\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et ajoutant ensemble les résultats, on aura

$2^{s}\left(\alpha ^{s}+\beta ^{s}+\gamma ^{s}+\ldots \right)+2(\alpha +\beta )^{s}+2(\alpha +\gamma )^{s}+\ldots +2(\beta +\gamma )^{s}+\ldots$

$=m\mathrm {A} _{s}+s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}+{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{s-3}+\ldots .$

Donc, si l’on dénote en général par $a_{s}$ la somme des puissances $s$^ièmes des racines ajoutées deux à deux, on aura, à cause de $\alpha ^{s}+\beta ^{s}+\gamma ^{s}+\ldots =\mathrm {A} _{s},$ cette expression de $2a_{s}$

$2a_{s}=\left(m-2^{s}\right)\mathrm {A} _{s}+s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}$

$+{\frac {s(s-1)(s-2)}{2.3}}\mathrm {A_{3}A} _{s-3}+\ldots .$

Comme $s$ est supposé un nombre entier, il est clair que les termes également éloignés des deux extrêmes seront égaux ; or le dernier terme sera $\mathrm {A_{s}A_{0}} ,$ mais $\mathrm {A} _{0}=m\,;$ donc, réunissant le dernier au premier, l’avant-dernier au second, et ainsi de suite, et divisant par $2,$ on aura, lorsque $s$ est un nombre impair,

$a_{s}=\left(m-2^{s-1}\right)\mathrm {A} _{s}+s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}+\ldots$

$+{\cfrac {s(s-1)(s-2)\ldots {\cfrac {s+3}{2}}}{1.2.3\ldots {\cfrac {s-1}{2}}}}\mathrm {A} _{\frac {s-1}{2}}\mathrm {A} _{\frac {s+1}{2}},$

et, lorsque $s$ est un nombre pair,

$a_{s}=\left(m-2^{s-1}\right)\mathrm {A} _{s}+s\mathrm {A_{1}A} _{s-1}+{\frac {s(s-1)}{2}}\mathrm {A_{2}A} _{s-2}+\ldots$

$+{\cfrac {s(s-1)(s-2)\ldots \left({\cfrac {s}{2}}+1\right)}{1.2.3\ldots {\cfrac {s}{2}}}}{\frac {\mathrm {A} _{\frac {s}{2}}^{2}}{2}}.$

Si l’on détermine par cette formule les termes de la série $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,$ et qu’on emploie ces valeurs dans les expressions des quantités $a,b,c,\ldots$ de la troisième série, on aura les coefficients de l’équation,