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degré ; mais, comme elle peut être utile dans quelques occasions, je vais la rapporter ici, d’après Waring.

4. Soit donc l’équation du cinquième degré

$x^{5}+\mathrm {B} x^{3}-\mathrm {C} x^{2}+\mathrm {D} x-\mathrm {E} =0\,;$

l’équation des différences sera

$v^{10}-av^{9}+bv^{8}-cv^{7}+dv^{6}-ev^{5}+fv^{4}-gv^{3}+hv^{2}-iv+k=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}a=&-10\mathrm {B} ,\\b=&\mathrm {39B^{2}+10D} ,\\c=&\mathrm {-80B-50BD-25C^{2}} ,\\d=&\mathrm {95B^{4}+124B^{2}D-95D^{2}+92BC^{2}+200CE} ,\\e=&\mathrm {-66B^{5}+360BD^{2}-196B^{3}D-118B^{2}C^{2}-260C^{2}D-625E^{2}-400BCE} ,\\f=&\mathrm {25B^{6}+40D^{3}-53C^{4}+52B^{3}C^{2}-522B^{2}D^{2}+194B^{4}D+708BC^{2}D} \\&\mathrm {+240B^{2}CE+1750BE^{2}-950CDE} ,\\g=&\mathrm {-4B^{7}-106B^{5}D+80BD^{3}+308B^{3}D^{2}+102BC^{4}+7B^{4}C^{2}-570C^{2}D^{2}} \\&\mathrm {-612B^{2}C^{2}D-700C^{3}E+3750DE^{2}-2500B^{2}E^{2}-80B^{3}CE+2150BCDE} ,\\h=&\mathrm {4000D^{4}-360B^{2}D^{3}-15B^{4}D^{2}+24B^{6}D-8B^{5}C^{2}-45B^{2}C^{4}-270C^{4}D} \\&\mathrm {+140B^{3}C^{2}D+960BC^{2}D^{2}+1875C^{2}E^{2}+1000CD^{2}E-5000BDE^{2}} \\&\mathrm {+1790B^{3}E^{2}+40B^{4}CE+600BC^{3}E-1650B^{2}CDE} ,\\i=&\mathrm {-36B^{5}D^{2}+224B^{3}D^{3}-320BD^{4}-4B^{3}C^{4}-27C^{6}+40C^{2}D^{3}-434B^{2}C^{2}D^{2}} \\&\mathrm {+24B^{4}C^{2}D+198BC^{4}D-5000D^{2}E^{2}+450C^{3}DE+6250CE^{3}-675B^{4}E^{2}} \\&\mathrm {+3750B^{2}DE^{2}-3000BC^{2}E^{2}-60B^{2}C^{3}E-200BCD^{2}E+330B^{3}CDE} ,\\k=&\mathrm {3125E^{4}-3760BCE^{3}} \\&\mathrm {+\left(2000BD^{2}+2250C^{2}D-900B^{3}D+825B^{2}C^{2}+108B^{5}\right)E^{2}} \\&\mathrm {+\left(-1600CD^{3}-560B^{2}CD^{2}-16B^{3}C^{3}+630BC^{3}D+72B^{4}CD-108C^{5}\right)E} \\&\mathrm {+256D^{5}-128B^{2}D^{4}+144BC^{2}D^{3}+16B^{4}D^{3}-27C^{4}D^{2}-4B^{3}C^{2}D^{2}} .\end{aligned}}$

La réalité de toutes les racines de l’équation du cinquième degré exige donc que la valeur de chacune des quantités $a,b,c,\ldots$ soit