NOTE IV.
SUR LA MANIÈRE DE TROUVER UNE LIMITE PLUS PETITE QUE LA PLUS PETITE DIFFÉRENCE ENTRE LES RACINES D’UNE ÉQUATION DONNÉE.
La détermination de cette limite est nécessaire pour pouvoir former une suite de nombres dont la substitution successive fasse connaître d’une manière certaine toutes les racines réelles de l’équation proposée (no 6). Le moyen le plus direct d’y parvenir est de calculer, comme nous l’avons proposé, l’équation même dont les racines seraient les différences entre celles de l’équation donnée, et de déterminer ensuite, par les méthodes connues, la limite de la plus petite racine de cette équation. Mais, pour peu que le degré de l’équation proposée soit élevé, celui de l’équation des différences monte si haut, qu’on est effrayé de la longueur du calcul nécessaire pour trouver la valeur de tous les termes de cette équation, puisque, le degré de la proposée étant on a coefficients à calculer, et que, pour employer les séries du no 8, il faudrait en tout calculer termes.
Comme cet inconvénient pourrait rendre la méthode générale presque impraticable dans les degrés un peu élevés, je me suis longtemps occupé des moyens de l’affranchir de la recherche de l’équation des différences, et j’ai reconnu en effet que, sans calculer en entier cette équation, on pouvait néanmoins trouver une limite moindre que la plus petite de ses racines, ce qui est le but principal du calcul de cette même équation.
1. En effet, soit l’équation proposée en
