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que je représenterai, pour plus de simplicité, par

$\mathrm {X} =0\,;$

qu’on en déduise cette équation en $u$ du degré $m-1$ (n^o 8)

$\mathrm {Y} +\mathrm {Z} u+\mathrm {V} u^{2}+\ldots +u^{m-1}=0,$

dans laquelle

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}-\ldots ,\\\mathrm {Z} =&{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}-{\frac {(m-1)(m-2)}{2}}\mathrm {A} x^{m-3}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}-\ldots ,\end{aligned}}$

savoir,

$\mathrm {Y=X',\quad Z={\frac {X''}{2}},\quad V={\frac {X'''}{2.3}}} ,\quad \ldots ,$

$\mathrm {X',X'',X'''} ,\ldots$ étant les fonctions dérivées de $\mathrm {X}$ ou les coefficients différentiels ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}},\ {\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}},\ {\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}},\ldots .$

On a vu dans le problème du n^o 8 que, si l’on substitue dans cette équation en $u,$ à la place de $x,$ une quelconque des racines de l’équation $\mathrm {X} =0,$ elle aura alors pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres racines de la même équation. Donc, si l’on y substitue successivement les $m$ racines de l’équation $\mathrm {X} =0,$ on aura $m$ équations en $u$ dont les racines seront toutes les différences possibles entre les racines de l’équation proposée par conséquent, il ne s’agira que de trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de chacune de ces $m$ équations.

Donc, si l’on fait $u={\frac {1}{i}},$ ce qui changera l’équation en $u$ en celle-ci

$\mathrm {Y} +{\frac {\mathrm {Z} }{i}}+{\frac {\mathrm {V} }{i^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{i^{m-1}}}=0,$

ou bien, en multipliant par $i^{m-1}$ et divisant par $\mathrm {Y} ,$

$i^{m-1}+\mathrm {\frac {Z}{Y}} i^{m-2}+\mathrm {\frac {V}{Y}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {Y} }}=0,$