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toutes les racines réelles de la inême équation et donnera leurs premières limites.

Si la quantité $\mathrm {K}$ était nulle, on aurait pour $\mathrm {L}$ une quantité infinie, et la limite ${\frac {1}{\mathrm {L} }}$ deviendrait zéro ce qui indiquerait l’égalité de deux ou plusieurs racines dans l’équation proposée. En effet, s’il y a deux racines égales, il est clair qu’il y aura une des valeurs de $u$ qui sera nulle ; donc le dernier terme $\mathrm {Y}$ de l’équation en $u$ deviendra nul en y substituant pour $x$ une des racines de l’équation $\mathrm {X} =0\,;$ donc cette équation aura lieu en même temps que l’équation $\mathrm {Y} =0,$ c’est-à-dire $\mathrm {X} '=0$ ou ${\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,$ ce qui revient à ce que l’on sait depuis longtemps. Donc l’équation résultante de celle-ci par l’élimination de $x$ aura lieu aussi. Or, il est facile de voir que cette équation n’est autre chose que l’équation $\mathrm {K} =0\,;$ car, puisque le produit $\mathrm {Y} \xi$ devient $=\mathrm {K}$ par le moyen de l’équation $\mathrm {X} =0,$ on aura $\mathrm {Y} ={\frac {\mathrm {K} }{\xi }},$ et, par conséquent, l’équation $\mathrm {Y} =0$ donnera $\mathrm {K} =0.$

Lorsqu’on sera assuré par là que l’équation en $x$ a des racines égales, on les trouvera en cherchant le commun diviseur des équations $\mathrm {X} =0$ et $\mathrm {Y} =0$ (n^o 15) ; ensuite l’équation en $i$ donnée ci-dessus, étant multipliée par $\mathrm {K}$ et divisée par $\mathrm {Z} \xi ,$ deviendra, à cause de $\mathrm {K} =0,$

$i^{m-2}+\mathrm {\frac {V}{Z}} i^{m-3}+\ldots +{\frac {1}{\mathrm {Z} }}=0,$

à laquelle on pourra appliquer la même méthode pour trouver une limite plus grande que les valeurs de $i\,;$ et ainsi de suite.

Au reste, comme, avant d’entreprendre la résolution d’une équation par quelque méthode que ce soit, il est toujours nécessaire de s’assurer si elle a des racinés égales, parce que ces racines peuvent se déterminer à part d’une manière rigoureuse, on voit que le calcul de la quantité $\mathrm {K}$ est indispensable lorsqu’on ne calcule pas l’équation des différences, car l’équation $\mathrm {K} =0$ est proprement celle que l’on trouve par les méthodes ordinaires lorsqu’on cherche les conditions de l’éga-