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On aura donc ici

$\mathrm {X} =x^{3}-7x+7,$

et les fonctions dérivées seront

$\mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {X} ''=6x,\quad \mathrm {X} '''=6,\quad \mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0\,;$

donc

$\mathrm {Y} =\mathrm {X} '=3x^{2}-7,\quad \mathrm {Z} ={\frac {\mathrm {X} ''}{2}}=3x,\quad \mathrm {V} ={\frac {\mathrm {X} '''}{2.3}}=1,$

et l’équation en $u$ sera du second degré.

On prendra pour $\xi$ le polynôme indéterminé du second degré

$x^{2}+ax+b,$

et, en le multipliant par le polynôme $\mathrm {Y} ,$ on aura

$\mathrm {Y} \xi =3x^{4}+3ax^{3}+(3b-7)x^{2}-7ax-7b.$

Mais l’équation $\mathrm {X} =0$ donne

$x^{3}=7x-7\,;$

donc

$x^{4}=7x^{2}-7x.$

Faisant ces substitutions, on aura

$\mathrm {Y} \xi =(3b+14)x^{2}+(14a-21)x-21a-7b.$

On fera donc

$3b+14=0,\quad 14a-21=0,\quad -21a-7b=\mathrm {K} ,$

d’où l’on tire

$a={\frac {3}{2}},\quad b=-{\frac {14}{3}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {K} ={\frac {7}{6}}.$

Ainsi, puisque la quantité $\mathrm {K}$ n’est pas nulle, on en conclura d’abord que l’équation n’a pas de racines égales.

Maintenant on aura

$\xi =x^{2}+{\frac {3x}{2}}-{\frac {14}{3}},$