démontrer directement par la théorie des équations, en cette sorte. Soient l’inconnue de l’équation, et ses racines ; l’équation se réduira, comme l’on sait, cette forme
Or soient et les nombres qui, substitués par donneront des résultats de signes contraires ; il faudra donc que ces deux quantités
soient de signes différents ; par conséquent, il faudra qu’il y ait au moins deux facteurs correspondants, comme et qui soient de signes contraires ; donc il y aura au moins une des racines de l’équation, comme qui sera entre les nombres et c’est-à-dire plus petite que le plus grand de ces deux nombres, et plus grande que le plus petit d’entre eux ; donc cette racine sera nécessairement réelle.
2. Corollaire I. — Donc, si les nombres et ne diffèrent l’un de l’autre que de l’unité ou d’une quantité moindre que l’unité, le plus petit de ces nombres, s’il est entier, ou le nombre entier qui sera immédiatement moindre que le plus petit de ces deux nombres, s’il n’est pas entier, sera la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation. Si la différence entre et est plus grande que l’unité, alors, nommant les nombres entiers qui tombent entre et il est clair que, si l’on substitue successivement, à la place de l’inconnue, les nombres on trouvera nécessairement deux substitutions consécutives qui donneront des résultats de signes différents ; donc, puisque les nombres qui donneront ces deux résultats ne diffèrent entre eux que de l’unité, on trouvera, comme ci-dessus, la valeur entière la plus approchée d’une des racines de l’équation.
3. Corollaire II. — Toute équation dont le dernier terme est négatif, en supposant le premier positif, a nécessairement une racine réelle
