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positive, dont on pourra trouver la valeur entière la plus approchée en substituant, à la place de l’inconnue, les nombres $0,1,2,3,\ldots ,$ jusqu’à ce que l’on rencontre deux substitutions qui donnent des résultats de signes contraires.

Car, en supposant le premier terme $x^{m}$ et le dernier $-\mathrm {H}$ ($\mathrm {H}$ étant un nombre positif), on aura, en faisant $x=0,$ le résultat négatif $-\mathrm {H} ,$ et en faisant $x=\infty ,$ le résultat positif $\infty ^{m}\,;$ donc on aura ici $p=0$ et $q=\infty \,;$ donc les nombres entiers intermédiaires seront tous les nombres naturels $1,2,3,\ldots \,;$ donc, etc. (corollaire précédent).

De là on voit :

1^o Que toute équation d’un degré impair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement une racine réelle positive ;

2^o Que toute équation d’un degré impair, dont-le dernier terme est positif, a nécessairement une racine réelle négative ; car, en changeant $x$ en $-x,$ le premier terme de l’équation deviendra négatif donc, changeant tous les signes pour rendre de nouveau le premier terme positif, le dernier deviendra négatif ; donc l’équation aura alors une racine réelle positive ; par conséquent, l’équation primitive aura une racine réelle négative ;

3^o Que toute équation d’un degré pair, dont le dernier terme est négatif, a nécessairement deux racines réelles, l’une positive et l’autre négative ; car, premièrement, elle aura une racine réelle positive ensuite, comme, en changeant $x$ en $-x,$ le premier terme demeure positif, la transformée aura aussi une racine réelle positive donc l’équation primitive en aura une réelle et négative.

4. Remarque. — Comme on peut toujours changer les racines négatives d’une équation quelconque en positives, en changeant seulement le signe de l’inconnue, nous ne considérerons dans la suite, pour plus de simplicité, que les racines positives ; ainsi, quand il s’agira d’examiner les racines d’une équation donnée, on considérera d’abord les racines positives de cette équation ; ensuite on y changera les signes de tous les termes où l’inconnuese trouvera élevée à une puissance impaire, et l’on considérera de même les racines positives de cette