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et par conséquent

$p=-{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{a-\alpha }}+{\cfrac {1}{a-\beta }}+{\cfrac {1}{a-\gamma }}+\ldots }}={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{\alpha -a}}+{\cfrac {1}{\beta -a}}+{\cfrac {1}{\gamma -a}}+\ldots }}$

Supposons que $\alpha$ soit la racine que l’on cherche et que $a$ soit une valeur approchée en plus ou en moins, $\alpha -a$ sera le défaut ou l’excès de la valeur $a$ sur la véritable $\alpha ,$ et $\alpha -a-p$ sera le défaut ou l’excès de la valeur corrigée $a+p\,;$ et il faudra, pour la bonté de la méthode, que la quantité $\alpha -a-p$ soit toujours plus petite que la quantité $\alpha -a,$ abstraction faite des signes de ces quantités, et, par conséquent, que la quantité ${\frac {1}{\alpha -a-p}}$ soit toujours plus grande que ${\frac {1}{\alpha -a}},$ abstraction faite des signes.

4. Faisons, pour abréger,

$\mathrm {R} ={\frac {1}{\beta -a}}+{\frac {1}{\gamma -a}}+\ldots \,;$

on aura, par la formule trouvée ci-dessus, pour la valeur de $p,$

$\alpha -a-p=\alpha -a-{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{\alpha -a}}+\mathrm {R} }}={\cfrac {\mathrm {R} (\alpha -a)}{{\cfrac {1}{\alpha -a}}+\mathrm {R} }}\,;$

donc

${\frac {1}{\alpha -a-p}}={\frac {{\cfrac {1}{\alpha -a}}+\mathrm {R} }{\mathrm {R} (\alpha -a)}}={\frac {1}{\alpha -a}}+{\frac {1}{(\alpha -a)^{2}\mathrm {R} }}.$

D’où je conclus que, si la valeur de $\mathrm {R}$ est du même signe que celle de $\alpha -a,$ la valeur de $\alpha -a-p$ sera encore du même signe, et que la condition dont il s’agit aura nécessairement lieu.

Mais, si les deux quantités $\alpha -a$ et $\mathrm {R}$ sont de signes contraires, alors, pour que la condition ait lieu, abstraction faite des signes, il faudra que l’on ait

${\frac {1}{(\alpha -a-p)^{2}}}>{\frac {1}{(\alpha -a)^{2}}}\,;$