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or, de l’équation précédente on tire

${\frac {1}{(\alpha -a-p)^{2}}}={\frac {1}{(\alpha -a)^{2}}}+{\frac {2}{(\alpha -a)^{3}\mathrm {R} }}+{\frac {1}{(\alpha -a)^{4}\mathrm {R} ^{2}}}\,;$

donc il faudra que

${\frac {2}{(\alpha -a)^{3}\mathrm {R} }}+{\frac {1}{(\alpha -a)^{4}\mathrm {R} ^{2}}}$

soit une quantité positive et, par conséquent, que l’on ait la condition

$2(\alpha -a)\mathrm {R} +1>0.$

Comme la valeur de $\mathrm {R}$ dépend des autres racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ qui sont inconnues, il est difficile, peut-être même impossible, de trouver a priori un caractère pour juger si la condition dont il s’agit est remplie ou non.

Il est aisé d’ailleurs de former a posteriori des équations où cette condition n’aura point lieu, en prenant les racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ de manière que quelques-unes des différences $\beta -a,\ \gamma -a,\ldots$ soient fort petites et de signes différents ; et, si $\beta$ et $\gamma ,$ par exemple, sont imaginaires et de la forme $\varpi +\rho {\sqrt {-1}}$ et $\varpi -\rho {\sqrt {-1}},$ il n’y aura qu’à prendre $\varpi$ peu différent de $a$ et $\rho$ fort petit. Alors la valeur corrigée $a+p,$ au lieu d’être plus près de la vraie valeur de la racine $\alpha$ que la valeur de $a,$ s’en éloignera au contraire davantage.

5. Il n’y a donc que le premier cas où l’on puisse établir un caractère certain pour le succès de la méthode ; car il est visible que, si la quantité $a$ est à la fois plus petite que chacune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation proposée ou plus grande que chacune de ces racines, en regardant, comme on le doit, les quantités négatives comme plus petites que les positives et les plus grandes négatives comme plus petites que les moins grandes, alors la quantité $\mathrm {R}$ sera nécessairement de même signe que la quantité $\alpha -a\,;$ et si, parmi ces racines, il y en a d’imaginaires de la forme $\varpi +\rho {\sqrt {-1}},\ \varpi -\rho {\sqrt {-1}},$ il en résultera