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nouvelle équation ; ces racines, prises en moins, seront les racines négatives de la proposée.

5. Théorème II. — Si, dans une équation quelconque qui a une ou plusieurs racines réelles et inégales, on substitue successivement à la place de l’inconnue deux nombres, dont l’un soit plus grand et dont l’autre soit plus petit que l’une de ces racines, et qui diffèrent en même temps l’un de l’autre d’une quantité moindre que la différence entre cette racine et chacune des autres racines réelles de l’équation, ces deux substitutions donneront nécessairement deux résultats de signes contraires.

En effet, soient $\alpha$ une des racines réelles et inégales de l’équation, et $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots$ les autres racines quelconques ; soit de plus $\rho$ la plus petite des différences entre la racine $\alpha$ et chacune des autres racines réelles de l’équation ; il est clair qu’en prenant $p>\alpha ,\ q<\alpha$ et $p-q<\rho ,$ les quantités $ps-\alpha$ et $q-\alpha$ seront de signes contraires, et que les quantités $p-\beta ,\ p-\gamma ,\ldots$ seront chacune de même signe que sa correspondante $q-\beta ,\ q-\gamma ,\ldots \,;$ car, si $p-\beta$ et $q-\beta$ étaient de signes contraires, il faudrait que $\beta$ fût aussi compris entre $p$ et $q,$ ce qui ne se peut ; donc les deux produits

${\begin{aligned}&(p-\alpha )(p-\beta )(p-\gamma )\ldots ,\\&(q-\alpha )(q-\beta )(q-\gamma )\ldots ,\end{aligned}}$

c’est-à-dire les résultats des substitutions de $p$ et $q$ à la place de l’inconnue $x$ (n^o 1), seront nécessairement de signes contraires.

6. Corollaire I. — Donc, si dans une équation quelconque on substitue successivement à la place de l’inconnue les nombres en progression arithmétique

(A)

$0,\quad \Delta ,\quad 2\Delta ,\quad 3\Delta ,\quad 4\Delta ,\quad \ldots ,$

les résultats correspondants formeront une suite dans laquelle il y aura autant de variations de signes que l’équation proposée aura de racines réelles positives et inégales, mais dont les différences ne seront pas moindres que la différence $\Delta$ de la progression ; de sorte que, si