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et substituant $a+p$ pour $x,$ elle deviendra

$(p+a-\alpha )(p+a-\beta )(p+a-\gamma )\ldots =0,$

où $a-\alpha ,\ a-\beta ,\ a-\gamma ,\ldots$ seront, dans le premier cas, des quantités positives, et, dans le second, toutes négatives donc, dans le premier cas, on aura une transformée en $p$ dont tous les termes seront positifs, et, dans le second cas, cette transformée aura ses termes alternativement positifs et négatifs.

Réciproquement, si les termes de la transformée en $p$ sont tous positifs, il est évident qu’il n’y aura alors aucune valeur positive de $p$ qui puisse satisfaire à l’équation ; par conséquent, les valeurs réelles de $p$ seront nécessairement négatives ; donc, les racines de l’équation en $p$ étant $\alpha -a,\ \beta -a,$ $\gamma -a,$ $\ldots ,$ il faudra que ces quantités soient toutes négatives ou imaginaires ; donc la quantité $a$ sera nécessairement plus grande que chacune des racines réelles de l’équation, quand même elle aurait des racines imaginaires.

On prouvera de la même manière que, si les termes de la transformée en $p$ sont alternativement positifs et négatifs, la quantité $a$ sera nécessairement plus petite que chacune des racines réelles, soit qu’il y ait des imaginaires ou non.

7. Mais, dans le cas où l’équation a des racines imaginaires, on ne pourra pas s’assurer de la même manière que la quantité $a$ sera en même temps plus grande ou plus petite que chacune des parties réelles de ces racines ; je ne vois pas même qu’on puisse s’en assurer autrement que par le moyen de l’équation dont ces parties réelles seraient racines. Or si

$\beta =\varpi +\rho {\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \gamma =\varpi -\rho {\sqrt {-1}},$

on a

$\varpi ={\frac {\beta +\gamma }{2}}\,;$

ainsi l’équation dont $\varpi$ sera une des racines ne peut être que celle qui aura pour racines les demi-sommes des racines de la proposée, prises