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deux à deux, et qui, par la théorie des combinaisons, montera au degré ${\frac {m(m-1)}{2}}.$

Ayant formé cette équation par les formules que nous avons indiquées plus haut (Note III), on y substituera $a+z$ à la place de l’inconnue et, si la transformée a tous ses termes positifs ou alternaivement positifs et négatifs, on sera assuré que le nombre $a$ sera plus grand ou plus petit que chacune des valeurs de $\varpi$, et par conséquent aussi que chacune des parties réelles des racines imaginaires.

8. Newton n’a appliqué sa méthode qu’à l’équation

$x^{3}-2x-5=0,$

que nous avons résolue (n^o 25). Il suppose d’abord, dans le Chapitre IV, $a=2,$ et, substituant $2+p$ à la place de $x,$ il a la transformée

$0=-1+10p+6p^{2}+p^{3},$

d’où il tire $p={\frac {1}{10}}=0{,}1\,;$ il fait ensuite $p=0{,}1+q,$ il a la nouvelle transformée

$0=0{,}061+11{,}23q+6{,}3q^{2}+q^{3},$

d’où il tire $q=-{\frac {0{,}061}{11{,}23}}=-0{,}0054\ldots \,;$ il continue en faisant $q=-0{,}0054+r,$ il vient la transformée

$0=0{,}000541708+11{,}16196r+6{,}3r^{2}+r^{3},$

d’où il déduit $r={\frac {-0{,}000541708}{11{,}16196}}=-000004853\ldots ,$ et ainsi de suite

Ainsi les valeurs convergentes de $x$ sont

$2,\quad 2{,}1,\quad 2{,}0946,\quad 2{,}09455147,$

dont la dernière est exacte à la dernière décimale près (numéro cité).

Dans ce cas, la série est, comme l’on voit, très-convergente, On peut, en effet, s’assurer a priori, par ce que nous avons démontré, que cela doit être ainsi.