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Car nous avons vu (numéro cité) que les deux autres racines de cette équation sont imaginaires, et qu’en les représentant par $\varpi +\rho {\sqrt {-1}}$ on a à très-peu près

$\rho ^{2}={\frac {160}{4.31}}={\frac {40}{31}}\quad {\text{et}}\quad \varpi =-{\frac {15}{8\rho ^{2}+4}}=-{\frac {15.31}{4.111}}=-{\frac {465}{444}}\,;$

donc, puisque, outre la racine $\alpha$ que l’on cherche, il n’y a que ces deux racines imaginaires, on aura dans ce cas

$\mathrm {R} ={\frac {2(\varpi -a)}{(\varpi -a)^{2}+\rho ^{2}}}.$

Or, $a$ étant $=2,$ on a

$\varpi -a=-{\frac {1353}{444}}\,;$

mais, $\alpha$ étant à très-peu près $2{,}0945\ldots ,$ on a

$\alpha -a=0{,}0945\ldots \,;$

d’où l’on voit d’abord que $\mathrm {R}$ et $\alpha -a$ sont de signes différents, et qu’ainsi, pour que la première correction de $a$ soit juste, il faut que la condition

$2(\alpha -a)\mathrm {R} +1>0$

ait lieu. Or on trouve

$\mathrm {R} =-0{,}6575\quad {\text{et de là}}\quad 2(\alpha -a)\mathrm {R} =-0{,}1244\,;$

de sorte que la condition dont il s’agit est amplement satisfaite. Ainsi on est assuré que la première valeur corrigée $2{,},1$ approchera davantage de la vraie valeur de la racine. En prenant cette valeur pour $a,$ on a

$\alpha -a=-0{,}0055\ldots \,;$

donc, $\alpha -a$ et $\mathrm {R}$ étant maintenant de même signe, les corrections suivantes approcheront toutes de plus en plus de la vraie valeur de la racine cherchée.