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2. Développons d’abord suivant les puissances négatives ; la fraction qui forme le premier membre deviendra

${\frac {\mathrm {P} }{x}}+{\frac {\mathrm {Q} }{x^{2}}}+{\frac {\mathrm {R} }{x^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} }{x^{4}}}+\ldots ,$

et, pour trouver les valeurs des coefficients $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots ,$ il n’y a qu’à multiplier par le dénominateur $x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\ldots ,$ et comparer ensuite les termes avec ceux du numérateur $mx^{m-1}-(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+\ldots \,;$ on aura ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&m,\\\mathrm {Q} =&\mathrm {AP} -(m-1)\mathrm {A} ,\\\mathrm {R} =&\mathrm {AQ-BP} +(m-2)\mathrm {B} ,\\\mathrm {S} =&\mathrm {AR-BQ+CP} -(m-3)\mathrm {C} ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que la suite des quantités $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ devient après le $m$^ième terme une suite récurrente, dont l’échelle de relation est $\mathrm {A,\ -B,\ C,\ -D} ,\ \ldots .$

Développant de même les fractions qui forment le second membre, il deviendra

${\frac {m}{x}}+(\alpha +\beta +\gamma +\ldots ){\frac {1}{x^{2}}}+\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots \right){\frac {1}{x^{3}}}$

$+\left(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots \right){\frac {1}{x^{4}}}+\ldots .$

Maintenant, la comparaison des termes semblables des deux membres de l’équation donne

${\begin{aligned}\mathrm {P} =&m,\\\mathrm {Q} =&\alpha \ \ +\beta \ \,+\gamma \ \ +\ldots ,\\\mathrm {R} =&\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\ldots ,\\\mathrm {S} =&\alpha ^{3}+\beta ^{3}+\gamma ^{3}+\ldots ,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

et, en général, un terme quelconque ; dont le quantième sera $\mu$ à compter de $\mathrm {Q} ,$ sera égal à

$\alpha ^{\mu }+\beta ^{\mu }+\gamma ^{\mu }+\ldots .$

C’est l’expression du terme général de la série.