On a par là la démonstration la plus simple de la loi donnée par Newton pour la somme des puissances des racines. Mais les formules précédentes sont surtout utiles pour approcher de la valeur de la plus grande des racines
En effet, il est clair que, si toutes ces racines sont réelles et que
soit par exemple la plus grande des racines, soit qu’elle soit positive ou négative, la puissance
surpassera d’autant plus les puissances semblables des autres racines, et même la somme de ces puissances, que l’exposant
sera plus grand ; d’où il s’ensuit que, si
et
sont des termes consécutifs de la série
on aura à très-peu près
et cette valeur de la racine
sera d’autant plus approchée que les termes dont il s’agit seront plus éloignés du commencement de la série.
3. Si parmi les racines
il y en avait d’imaginaires, on aurait, par exemple,
![{\displaystyle \beta =\varpi +\rho {\sqrt {-1}},\quad \gamma =\varpi -\rho {\sqrt {-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939a7a056d39107e30718453e57576bdb3e0ecb7)
alors, faisant
et
on aurait
![{\displaystyle \beta =\Pi \left(\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right),\quad \gamma =\Pi \left(\cos \varphi -\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a49bfaeb4533c6bc25bfb9cc53b4a038fb5e1dfe)
donc, par le théorème connu,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{\mu }=&\Pi ^{\mu }\left(\cos \mu \varphi +\sin \mu \varphi {\sqrt {-1}}\right),\\\gamma ^{\mu }=&\Pi ^{\mu }\left(\cos \mu \varphi -\sin \mu \varphi {\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f942bc7aba9ea26e252f0a3bc841b708a77fe95)
et par conséquent
![{\displaystyle \beta ^{\mu }+\gamma ^{\mu }=2\Pi ^{\mu }\cos \mu \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4ad7f1c6ba3d6b3c9acbb7fa763a9b30f67272)
Ainsi, pourvu que la racine
soit en même temps plus grande que
ou
c’est-à-dire plus grande que
la puissance
surpassera aussi la somme de pareilles puissances de
et ![{\displaystyle \gamma .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f423d4c0d1a3f651562797e2198c75a3f65e09fe)
Donc la méthode ne sera en défaut, à cause des racines imaginaires, qu’autant qu’il s’en trouvera dans lesquelles le produit réel des deux racines correspondantes sera plus grand que le carré de la plus grande