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On a par là la démonstration la plus simple de la loi donnée par Newton pour la somme des puissances des racines. Mais les formules précédentes sont surtout utiles pour approcher de la valeur de la plus grande des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ En effet, il est clair que, si toutes ces racines sont réelles et que $\alpha$ soit par exemple la plus grande des racines, soit qu’elle soit positive ou négative, la puissance $\alpha ^{\mu }$ surpassera d’autant plus les puissances semblables des autres racines, et même la somme de ces puissances, que l’exposant $\mu$ sera plus grand ; d’où il s’ensuit que, si $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ sont des termes consécutifs de la série $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ on aura à très-peu près $\alpha =\mathrm {\frac {V}{T}} ,$ et cette valeur de la racine $\alpha$ sera d’autant plus approchée que les termes dont il s’agit seront plus éloignés du commencement de la série.

3. Si parmi les racines $\beta ,\gamma ,\ldots$ il y en avait d’imaginaires, on aurait, par exemple,

$\beta =\varpi +\rho {\sqrt {-1}},\quad \gamma =\varpi -\rho {\sqrt {-1}}\,;$

alors, faisant ${\sqrt {\varpi ^{2}+\rho ^{2}}}=\Pi$ et ${\frac {\rho }{\varpi }}=\operatorname {tang} \varphi ,$ on aurait

$\beta =\Pi \left(\cos \varphi +\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right),\quad \gamma =\Pi \left(\cos \varphi -\sin \varphi {\sqrt {-1}}\right)\,;$

donc, par le théorème connu,

${\begin{aligned}\beta ^{\mu }=&\Pi ^{\mu }\left(\cos \mu \varphi +\sin \mu \varphi {\sqrt {-1}}\right),\\\gamma ^{\mu }=&\Pi ^{\mu }\left(\cos \mu \varphi -\sin \mu \varphi {\sqrt {-1}}\right),\end{aligned}}$

et par conséquent

$\beta ^{\mu }+\gamma ^{\mu }=2\Pi ^{\mu }\cos \mu \varphi .$

Ainsi, pourvu que la racine $\alpha$ soit en même temps plus grande que $\Pi$ ou ${\sqrt {\varpi ^{2}+\rho ^{2}}},$ c’est-à-dire plus grande que ${\sqrt {\beta \gamma }},$ la puissance $\alpha ^{\mu }$ surpassera aussi la somme de pareilles puissances de $\beta$ et $\gamma .$

Donc la méthode ne sera en défaut, à cause des racines imaginaires, qu’autant qu’il s’en trouvera dans lesquelles le produit réel des deux racines correspondantes sera plus grand que le carré de la plus grande