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des racines réelles ; et, dans ce cas, la série, au lieu de s’approcher et de se confondre à la fin avec une série géométrique, s’en éloignera continuellement.

4. Cette méthode rentre évidemment dans celle que Daniel Bernoulli a déduite de la considération des suites récurrentes, et qu’Euler a exposée en détail dans son Introduction. Dans celle-ci, on donne à la fraction génératrice de la série, pour numérateur, un polynôme quelconque d’un degré moindre que le dénominateur, ce qui rend les $m$ premiers termes de la série entièrement arbitraires. Cette fraction se décompose dans les fractions simples

${\frac {a}{x-\alpha }}+{\frac {b}{x-\beta }}+{\frac {c}{x-\gamma }},\quad \ldots ,$

d’où résulte, pour les termes de la série, cette expression générale

$a\alpha ^{\mu }+b\beta ^{\mu }+c\gamma ^{\mu }+\ldots ,$

laquelle donne également, lorsque la racine $\alpha$ est beaucoup plus grande que chacune des autres, $\mathrm {\frac {V}{T}}$ pour la valeur approchée de $\alpha ,$ quelle que soit la valeur du coefficient $a.$ Mais l’indétermination des premiers termes de la série, au lieu d’être un avantage de cette méthode, est plutôt un inconvénient ; car s’il arrive que les deux racines $\alpha ,\beta$ soient égales, alors les deux termes $a\alpha ^{\mu }+b\beta ^{\mu }$ prennent en général la forme

$(a'+b'\mu )\alpha ^{\mu },$

et, si les trois racines $\alpha ,\beta ,\gamma$ sont égales, les trois termes $a\alpha ^{\mu }+b\beta ^{\mu }+c\gamma ^{\mu }$ prennent la forme

$\left(a'+b'\mu +c'\mu ^{2}\right)\alpha ^{\mu },$

et ainsi de suite ; d’où il est aisé de voir que, lorsque la plus grande racine $\alpha$ est une racine double ou triple, etc., la série converge bien moins rapidement vers une série géométrique. En prenant pour numérateur la fonction prime du dénominateur, ainsi que nous l’avons fait ci-dessus, tous les coefficients $a,b,c,\ldots$ deviennent égaux à l’unité,