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et, dans le cas des racines égales $\alpha$ et $\beta ,$ les deux termes $\alpha ^{\mu }+\beta ^{\mu }$ deviennent simplement $2\alpha ^{\mu },s$ et ainsi des autres ; de sorte que les racines égales n’influent en rien sur la convergence de la série.

5. Pour donner un exemple de ce que nous venons de dire, je prendrai celui de l’article 346 de l’Introduction d’Euler. L’équation à résoudre est

$x^{3}-3x^{2}+4=0\,;$

Euler prend $0,\ 1$ et $3$ pour les trois premiers termes, et il forme par l’échelle de relation, $3,\ 0,\ -4,$ la série récurrente

$1,\ \ 3,\ \ 9,\ \ 23,\ \ 57,\ \ 135,\ \ 313,\ \ 711,\ \ \ldots ,$

dans laquelle il observe que le quotient de chaque terme, divisé par le précédent, est toujours plus grand que $2,$ racine double, et en même temps la plus grande.

Si l’on emploie les formules données ci-dessus, en faisant

$m=3,\quad \mathrm {A} =3,\quad \mathrm {B} =0,\quad \mathrm {C} =4,$

tous les termes $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ se trouvent multiples de $3\,;$ de sorte que, rejetant ce facteur pour plus de simplicité, on trouve par la même échelle de relation, mais en partant des termes $1,\ 1,\ 3,$ la série

$1,\ \ 1,\ \ 3,\ \ 5,\ \ 11,\ \ 21,\ \ 43,\ \ 85,\ \ 171,\ \ 341,\ \ \ldots ,$

où l’on voit que le quotient de chaque terme, divisé par celui qui le précède, converge très-rapidement vers la racine double $2.$

6. Nous avons développé plus haut l’équation identique

${\frac {mx^{m-1}-\ldots }{x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\ldots }}={\frac {1}{x-\alpha }}+{\frac {1}{x-\beta }}+\ldots$

suivant les puissances négatives de $x\,;$ développons-lâ maintenant suivant les puissances positives. Pour cela, soient

$a-bx+cx^{2}-dx^{3}+\ldots$