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les derniers termes du polynôme

$x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots \,;$

on mettra le premier membre de l’équation identique sous la forme

${\frac {-b+2cx-3dx^{2}+4ex^{3}-\ldots }{a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots }},$

et le développement de cette fraction suivant les puissances croissantes de $x$ sera de la forme

$-\mathrm {P} '-\mathrm {Q} 'x-\mathrm {R} 'x^{2}-\mathrm {S} 'x^{3}-\ldots \,;$

en multipliant par le dénominateur et comparant les termes, on trouvera

${\begin{aligned}a\mathrm {P} '&=&b,\\a\mathrm {Q} '&=b\mathrm {P} '-2c,\\a\mathrm {R} '&=b\mathrm {Q} '-c\mathrm {P} '+3d,\\a\mathrm {S} '&=b\mathrm {R} '-c\mathrm {Q} '+d\mathrm {P} '-4c,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..,\end{aligned}}$

ce qui donne une série récurrente dont l’échelle est

${\frac {b}{a}},\quad -{\frac {c}{a}},\quad {\frac {d}{a}},\quad \ldots .$

Le second membre de la même équation, étant développé pareillement suivant les puissances croissantes de $x,$ donnera la série

$-\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}+\ldots \right)-\left({\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}+{\frac {1}{\gamma ^{2}}}+\ldots \right)x$

$-\left({\frac {1}{\alpha ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\gamma ^{3}}}+\ldots \right)x^{2}-\ldots ,$

de sorte qu’on aura par la comparaison

${\begin{aligned}{\frac {1}{\ \alpha \ }}+{\frac {1}{\ \beta \ }}+{\frac {1}{\ \gamma \ }}+\ldots &=\mathrm {P} ',\\{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}+{\frac {1}{\gamma ^{2}}}+\ldots &=\mathrm {Q} ',\\{\frac {1}{\alpha ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\gamma ^{3}}}+\ldots &=\mathrm {R} ',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ...\end{aligned}}$