les derniers termes du polynôme
![{\displaystyle x^{m}-\mathrm {A} x^{m-1}+\mathrm {B} x^{m-2}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fece4c491cc4afdba00452a49345bd556b6b86c0)
on mettra le premier membre de l’équation identique sous la forme
![{\displaystyle {\frac {-b+2cx-3dx^{2}+4ex^{3}-\ldots }{a-bx+cx^{2}-dx^{3}+ex^{4}-\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78265aae1327bb6aab1136c91cddafc0263232ea)
et le développement de cette fraction suivant les puissances croissantes de
sera de la forme
![{\displaystyle -\mathrm {P} '-\mathrm {Q} 'x-\mathrm {R} 'x^{2}-\mathrm {S} 'x^{3}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9ccbcb1dd176847b051119bf3c1249a4b3c6f8d)
en multipliant par le dénominateur et comparant les termes, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}a\mathrm {P} '&=&b,\\a\mathrm {Q} '&=b\mathrm {P} '-2c,\\a\mathrm {R} '&=b\mathrm {Q} '-c\mathrm {P} '+3d,\\a\mathrm {S} '&=b\mathrm {R} '-c\mathrm {Q} '+d\mathrm {P} '-4c,\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ..,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933eca8e2ba19bb5ace4c1799fd49a3b0a6c296e)
ce qui donne une série récurrente dont l’échelle est
![{\displaystyle {\frac {b}{a}},\quad -{\frac {c}{a}},\quad {\frac {d}{a}},\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ed00cf1c66f8393434b667bbffe060d3d5c5ac6)
Le second membre de la même équation, étant développé pareillement suivant les puissances croissantes de
donnera la série
![{\displaystyle -\left({\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}+\ldots \right)-\left({\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}+{\frac {1}{\gamma ^{2}}}+\ldots \right)x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/527f98bbc2d2336ab14372a8f21cc22875b85b9a)
![{\displaystyle -\left({\frac {1}{\alpha ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\gamma ^{3}}}+\ldots \right)x^{2}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07befb34e87d30dce7598780e044388b91c3ff8)
de sorte qu’on aura par la comparaison
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\ \alpha \ }}+{\frac {1}{\ \beta \ }}+{\frac {1}{\ \gamma \ }}+\ldots &=\mathrm {P} ',\\{\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}+{\frac {1}{\gamma ^{2}}}+\ldots &=\mathrm {Q} ',\\{\frac {1}{\alpha ^{3}}}+{\frac {1}{\beta ^{3}}}+{\frac {1}{\gamma ^{3}}}+\ldots &=\mathrm {R} ',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots ...\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268bbe3323367a4f9acf95b9fab26dfef06d4d1f)