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l’on prend $\Delta$ égale où moindre que la plus petite des différences entre les différentes racines positives et inégales de l’équation, la suite dont il s’agit aura nécessairement autant de variations de signes que l’équation contiendra de racines réelles positivés et inégales.

Donc, si la différence $\Delta$ est en même temps égale ou moindre que l’unité, on trouvera aussi, par ce moyen, la valeur entière approchée de chacune des racines réelles positives et inégalesde l’équation (n^o 2).

Si l’équation ne peut avoir qu’une seule racine réelle et positive ou si elle en a plusieurs, mais dont les différences ne soient pas moindres que l’unité, il est clair qu’on pourra faire $\Delta =1,$ c’est-à-dire qu’on pourra prendre les nombres naturels $0,1,2,3,\ldots$ pour les substituer à la place de l’inconnue ; mais, s’il y a dans l’équation des racines inégales dont les différences soient moindres que l’unité, alors il faudra prendre $\Delta$ moindre que l’unité, et telle qu’elle soit égale ou moindre que la plus petite des différences entre les racines dont il s’agit ainsi la difficulté se réduit à trouver la valeur qu’on doit donner à $\Delta ,$ en sorte qu’on soit assuré qu’elle ne surpasse pas la plus petite des différences entre les racines positives et inégales de l’équation proposée c’est l’objet du problème suivant.

7. Corollaire II. — Toute équation qui a un seul changement de signe a nécessairement une seule racine réelle positive.

Il est d’abord clair que l’équation aura nécessairement une racine réelle positive, à cause que son dernier terme sera de signe différent du premier (n^o 3). Or je vais démontrer qu’elle ne peut en avoir qu’une.

Soient (en supposant le premier terme positif, comme à l’ordinaire) $\mathrm {X}$ la somme de tous les termes positifs de l’équation, et $\mathrm {Y}$ la somme de tous les négatifs, en sorte que l’équation soit $\mathrm {X-Y} =0\,;$ et puisqu’il n’y a, par l’hypothèse, qu’un seul changement de signe, il est clair que les puissances de l’inconnue $x$ du polynôme $\mathrm {X}$ seront toujours plus hautes que celles du polynôme $\mathrm {Y} \,;$ de sorte que si $x^{r}$ est la plus petite puissance de $x$ dans le polynôme $\mathrm {X} ,$ et qu’on divise les deux polynômes $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ par $x^{r},$ la quantité ${\frac {\mathrm {X} }{x^{r}}}$ ne contiendra que des puis-