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et doit le distinguer de tous les autres. Mais j’ai reconnu que cette condition a lieu aussi pour tout système de la forme

$(x+a)(x-b)(x+c),$

qui se rapporte à la même formule d’équation, lorsque $a+c=2b,$ ce qu’on peut aussi prouver a priori.

Ainsi, si l’on a l’équation

$x^{3}+2x^{2}-5x-6=0,$

comme elle satisfait à la condition dont il s’agit, puisque, en faisant $m=2,\ n=5,\ p=6,$ on a

$2.8-2.5-6=0,$

on pourrait conclure de la Table de la page 546 du Recueil des Mémoires de Fontaine que cette équation a trois facteurs de la forme

$(x-a)\left(x+a+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x+a-b{\sqrt {-1}}\right),$

et que par conséquent elle a deux racines imaginaires, tandis qu’elle a au contraire les trois facteurs réels

$(x+3)(x-2)(x+1).$

On doit dire la même chose de la condition

${\begin{aligned}2^{4}.3^{4}n^{4}q&+2^{2}.3^{5}n^{3}p^{2}+2^{7}.3^{2}.5^{2}n^{2}q^{2}\\&+2^{4}.3^{2}.5.7np^{2}q-3^{3}.7p^{4}+2^{8}.5^{4}q^{3}=0,\end{aligned}}$

que Fontaine trouve (p. 568) pour le caractère commun des deux systèmes

${\begin{aligned}&(x+a)(x-b)\left(x-b+c{\sqrt {-1}}\right)\left(x-b-c{\sqrt {-1}}\right),\\&(x+a)(x-c)\left(x-c+b{\sqrt {-1}}\right)\left(x-c-b{\sqrt {-1}}\right)\end{aligned}}$

appartenant à la formule

$x^{4}-nx^{2}+px-q=0.$