sances positives de et la quantité ne contiendra que des puissances négatives de d’où il suit que, croissant, la valeur de devra croître aussi, et, diminuant, diminuera aussi, à moins que le polynôme. ne contienne que le seul terme auquel cas sera toujours une quantité constante ; au contraire, croissant, la valeur de diminuera nécessairement, et, diminuant, ira en augmentant. Soit la racine réelle et positive de l’équation, on aura donc, lorsque donc aussi donc, en substituant au lieu de des nombres quelconques plus grands que on aura toujours et par conséquent égal à un nombre positif, et, en substituant au lieu de des nombres moindres que on aura toujours et par conséquent égal à un nombre négatif : donc il sera impossible que l’équation ait des racines réelles positives plus grandes ou plus petites que
Si l’équation a plusieurs changements de signe, elle peut avoir aussi plusieurs racines réelles positives ; mais leur nombre ne peut jamais surpasser celui des changements ou variations de signe c’est ce théorème qu’on appelle la règle de Descartes. (Voir la Note VIII.)
8. Problème. — Une équation quelconque étant donnée, trouver une autre équation dont les racines soient les différences entre les racines de l’équation donnée.
Soit donnée l’équation
| (B) |
on sait que peut être indifféremment égal à une quelconque de ses racines. Soit une autre racine quelconque de la même équation, en sorte que l’on ait aussi
