NOTE VIII.
SUR LES LIMITES DES RACINES DES ÉQUATIONS ET SUR LES CARACTÈRES DE LA RÉALITÉ DE TOUTES LEURS RACINES.
La recherche des limites des racines est le premier problème qui se présente dans la théorie des équations, après celui de leur résolution générale. Comme cette résolution est bornée jusqu’ici au quatrième degré, et comme il est démontré par la considération des fonctions des racines que, si elle est possible au delà de ce degré, ce ne peut être qu’en résolvant des équations d’un degré beaucoup plus élevé, ce qui donnerait des expressions intraitables par leur complication, on peut dire que c’est du problème des limites que dépend maintenant tout l’art de résoudre les équations. En effet, dès qu’on a trouvé des limites particulières pour chaque racine, on peut les resserrer par des substitutions successives et approcher ainsi de la valeur de la racine autant que l’on veut.
1. On a senti avant la fin du xviie siècle la nécessité de s’occuper de ce problème, et, dès qu’on eut trouvé que l’équation formée en multipliant chaque terme d’une équation donnée par l’exposant de son inconnue renferme les conditions de l’égalité des racines de la proposée, on découvrit bientôt que les racines de cette même équation ainsi formée étaient les limites de celles de l’équation primitive. On sait que Hudde est l’auteur de la première de ces deux importantes découvertes, et je crois que la seconde est due à Rolle, qui l’a donnée dans son Algèbre, imprimée en 1690, et qui en a fait la base de sa méthode des cascades. Suivant cette méthode, les limites des racines
