d’une équation dépendent d’une équation d’un degré inférieur d’une unité, et les limites des racines de celles-ci dépendent de même d’une autre équation d’un degré moindre d’une unité, et ainsi de suite de sorte que, pour parvenir aux limites des racines de l’équation proposée, il faut résoudre des équations différentes et successives, qui vont toujours en baissant d’un degré. (Voir l’Analyse démontrée de Reyneau, où cette méthode est exposée avec beaucoup de détail.) Mais la longueur du calcul qu’elle demande et l’incertitude qui naît des racines imaginaires l’ont fait abandonner depuis longtemps, et l’on aurait peut-être été obligé de renoncer à avoir une méthode générale pour résoudre les équations si l’on n’avait pas trouvé, pour déterminer les limites des racines un moyen indépendant de la résolution de toute équation, comme on l’a vu dans le Chapitre I et dans la Note IV.
La considération des maxima et minima des lignes paraboliques a conduit Stirling à une méthode pour déterminer le nombre et les limites des racines réelles du troisième et du quatrième degré, laquelle a été généralisée par Euler dans son Calcul différentiel. Cette méthode revient à celle de Rolle dans le fond ; mais elle embrasse également les racines réelles et les racines imaginaires, et pourrait fournir des formules générales pour distinguer ces racines dans les équations du cinquième degré, au moyen des racines du quatrième.
La même considération a fait trouver à De Gua une méthode pour déterminer les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation quekonque. (Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1741.)
Nous avons vu que ce problème peut se résoudre aussi par le moyen de l’équation dont les racines sont les carrés des différences entre les racines de l’équation donnée ; mais cette solution est fondée sur la forme même des racines imaginaires, au lieu que la théorie de De Gua est indépendante de cette forme, et sa méthode a de plus l’avantage de n’exiger que le calcul d’équations de degrés inférieurs à celui de l’équation proposée.
Comme ces différentes méthodes sont intéressantes par elles-mêmes,
