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on aura l’équation identique

$\operatorname {F} (x)=\varphi (x)\times f(x),$

d’où l’on tirera sur-le-champ l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)=\varphi '(x)\times f(x)+\varphi (x)\times f'(x),$

et l’on trouvera

${\begin{aligned}\varphi '(x)=&\quad \ (x-\beta )(x-\gamma \,)(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\gamma )(x-\delta )\ldots \\&+(x-\alpha )(x-\beta )(x-\delta )\ldots +(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Supposons que les racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ soient rangées par ordre de grandeur, en commençant par les plus grandes positives et finissant par les plus grandes négatives. Il est facile de voir, par la nature de la fonction $\varphi '(x),$ qu’en faisant $x=\alpha$ on aura $\varphi '(x)>0,$ qu’en faisant $x=\beta$ on aura $\varphi '(x)<0,$ qu’en faisant $x=\gamma$ on aura $\varphi '(x)>0,$ et ainsi de suite. D’un autre côté, en faisant $x=\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ on a toujours $\varphi (x)=0$ et $f(x)>0,$ par la nature de ces fonctions. Donc

${\begin{array}{lcl}x=\alpha &{\text{donnera}}&\operatorname {F} '(x)>0,\\x=\beta &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)<0,\\x=\gamma &{\text{»}}&\operatorname {F} '(x)>0,\end{array}}$

et ainsi de suite.

Or, en prenant la fonction dérivée du polynôme $\operatorname {F} (x),$ on a

$\operatorname {F} '(x)=mx^{m-1}+(m-1)\mathrm {A} x^{m-2}+(m-2)\mathrm {B} x^{m-3}+\ldots +\mathrm {T} \,;$

donc l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ qui est du degré $m-1$ aura nécessairement des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines $\alpha$ et $\beta ,$ $\beta$ et $\gamma ,$ $\gamma$ et $\delta ,\ldots$ (Note I).

4. Désignons par $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ et l’on démontrera de la même manière que

${\begin{array}{lcl}x=\alpha _{1}&{\text{donnera}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\\x=\beta _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)<0,\\x=\gamma _{1}&{\text{»}}&\operatorname {F} ''(x)>0,\end{array}}$

et ainsi de suite.