Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/189

D’où il s’ensuit que l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0,$ dans laquelle

${\begin{aligned}\operatorname {F} ''(x)=m(m-1)x^{m-2}&+(m-1)(m-2)\mathrm {A} x^{m-3}\\&+(m-2)(m-3)\mathrm {B} x^{m-4}+\ldots +2\mathrm {S} ,\end{aligned}}$

aura aussi des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},\ldots ,$ et ainsi de suite.

Il résulte de ces formules différentes conséquences que nous allons développer.

Si l’équation primitive $\operatorname {F} (x)=0$ a deux racines égales, l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0$ aura une racine qui, devant tomber entre ces deux, leur sera encore égale ; par conséquent, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des deux polynômes $\operatorname {F} (x)$ et $\operatorname {F} '(x),$ ce qui est d’ailleurs évident, parce que le polynôme $\operatorname {F} (x)$ contenant le facteur carré $(x-a)^{2},$ le polynôme $\operatorname {F} '(x)$ contiendra encore le facteur simple $x-\alpha .$ Ainsi l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ renferme la condition pour qu’une des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ soit double.

On prouvera de la même manière que, si l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ a trois racines égales, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des trois polynômes $\operatorname {F} (x),\operatorname {F} '(x)$ et $\operatorname {F} ''(x),$ et que les deux équations $\operatorname {F} '(x)=0,$ $\operatorname {F} ''(x)=0$ contiennent les conditions pour que l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ait trois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donne les théorèmes connus sur les racines égales.

5. Considérons d’abord les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ en tant qu’elles peuvent être positives et négatives, et supposons qu’elle en ait un nombre $p$ de positives et un nombre $q$ de négatives. Donc l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ aura nécessairement $p-1$ racines réelles positives, $q-1$ racines réelles négatives, et de plus une racine réelle qui pourra être positive ou négative, car, puisque entre deux racines consécutives de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ il en tombe nécessairement une de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ il en tombera $p-1$ positives entre les $p$ positives, $q-1$ négatives entre les $q$ négatives, et une entre la plus petite positive et la première négative, qui pourra être positive ou négative.