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Donc, si l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ a plus de racines positives que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ elle ne peut en avoir qu’une de plus, et, si elle a plus de racines négatives que celle-ci, elle n’en peut avoir qu’une de plus.

Or, comme toute équation a toujours un nombre pair ou impair de racines positives, suivant que son dernier terme est positif ou négatif (Note II), il s’ensuit que, si les derniers termes sans $x$ des équations $\operatorname {F} (x)=0,\ \operatorname {F} '(x)=0$ sont de même signe, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne pourra pas avoir une racine positive de plus que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0\,;$ donc, dans ce cas, elle ne pourra avoir qu’une racine négative de plus que cette dernière équation, et par conséquent aussi elle ne pourra av oir une racine positive de plus que celle-ci que dans le cas où les derniers termes des mêmes équations seront de signe différent.

Donc, en général, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ suivant que leurs derniers termes sont de signe différent ou de même signe. Par la même raison, l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ ne pourra avoir qu’une racine positive ou négative de plus que l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0,$ suivant que leurs derniers termes seront de signe différent ou de même signe, et ainsi de suite.

Or on voit, par les formules ci-dessus, que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ est $\mathrm {V} ,$ que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ est $\mathrm {T} ,$ que le dernier terme de l’équation $\operatorname {F} ''(x)=0$ est $2\mathrm {S} ,$ et ainsi de suite ; de sorte que, en prenant ces équations à rebours,

${\begin{array}{lcl}{\text{La }}(m-1)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{aura pour dernier terme}}&2.3\ldots (m-1)\mathrm {A} ,\\{\text{La }}(m-2)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{»}}&2.3\ldots (m-2)\mathrm {B} ,\\{\text{La }}(m-3)^{\mathrm {i{\grave {e}}me} }&{\text{»}}&2.3\ldots (m-3)\mathrm {C} ,\end{array}}$

et ainsi de suite. Mais la $(m-1)$^ième équation, ou $\operatorname {F} ^{(m-1)}(x)=0,$ devient

$2.3.4\ldots mx+1.2.3\ldots (m-1)\mathrm {A} =0,$

qui a, comme l’on voit, la racine positive ou négative $-{\frac {\mathrm {A} }{m}},$ suivant que $\mathrm {A}$ est négatif ou positif. Donc la $(m-2)$^ième équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que celle-ci qu’autant que $\mathrm {B}$

sera de différent ou de même signe que $\mathrm {A} .$ De même, la $(m-3)$^ième