équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que la ième qu’autant que sera de différent ou de même signe que et ainsi de suite.
D’où l’on peut conclure que l’équation ou
ne peut avoir plus de racines positives ou négatives qu’il y a dans cette équation de termes consécutifs de différent ou de même signe, c’est-àdire que de variations ou de permanences de signe ; par conséquent, si l’équation a toutes ses racines réelles, elle aura précisément autant de racines positives que de variations et autant de négatives que de permanences.
C’est là le fameux théorème de Descartes, que les Anglais attribuent à Harriot, et dont on a différentes démonstrations données par De Gua dans les Mémoires de Paris, par Segner et Æpinus dans ceux de Berlin, par Kæstner dans le Commentaire sur l’Arithmétique de Newton, etc. J’ai rapporté la précédente parce qu’elle découle naturellement de notre analyse ; cependant la plus simple de ces démonstrations est celle que Segner a donnée dans les Mémoires de Berlin de l’année 1756. Elle consiste simplement à faire voir qu’en multipliant une équation quelconque par on augmente d’une unité le nombre des variations de signe, et qu’en la multipliant par on augmente aussi d’une unité le nombre des permanences, quelle que soit la valeur des coefficients de l’équation.
6. Nous allons considérer maintenant les racines de l’équation comme réelles ou imaginaires.
Soient, comme ci-dessus, les racines réelles de l’équation et les racines réelles de l’équation ces racines étant rangées par ordre de grandeur. Je dis que des racines il ne peut y en avoir qu’une qui soit plus grande que qu’une qui tombe entre et qu’une qui tombe entre et et ainsi de suite, et enfin une seule plus petite que la plus petite des
