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quantités $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots \,;$ car, si $\alpha$ et $\beta ,$ par exemple, étaient à la fois plus grandes que $\alpha _{1},$ comme entre les deux racines $\alpha$ et $\beta$ il doit tomber nécessairement une racine de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ cette racine serait alors plus grande que $\alpha _{1}\,;$ donc $\alpha _{1}$ ne serait plus la plus grande des racines de $\operatorname {F} '(x)=0,$ comme on le suppose. De même, si deux racines $\beta$ et $\gamma$ tombaient à la fois entre les deux $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ comme entre $\beta$ et $\gamma$ il doit nécessairement tomber une racine de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ cette racine tomberait aussi entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ contre l’hypothèse, puisque celles-ci sont supposées se suivre relativement à leur grandeur, et ainsi de suite. Enfin, si plusieurs des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ se trouvaient plus petites que la plus petite des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ comme il tomberait nécessairement entre elles des racines de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ ces racines seraient donc encore plus petites que la plus petite des mêmes racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ ce qui ne se peut.

Or, puisqu’on a en général

$\operatorname {F} (x)=(x-\alpha )(x-\beta )(x-\gamma )\ldots \times f(x),$

il est clair qu’en substituant $\alpha _{1}$ au lieu de $x,$ si aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ n’est plus grande que $\alpha _{1},$ la valeur de $\operatorname {F} (x)$ sera positive, et, si la seule racine $\alpha$ est plus grande que $\alpha _{1},$ la valeur de $\operatorname {F} (x)$ deviendra négative, puisque dans le premier cas tous les facteurs simples seront positifs, et que dans le second il n’y en aura qu’un de négatif, le polynôme $f(x)$ conservant toujours une valeur positive.

Supposons ensuite qu’on substitue $\beta _{1}$ au lieu de $x,$ et, si aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ cette substitution donnera une valeur de $\operatorname {F} (x)$ de même signe que la substitution de $\alpha _{1}\,;$ mais elle donnera une valeur de signe contraire si une des racines tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1}.$ Car il est visible que tout produit, comme $(\alpha _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\alpha ),$ est toujours nécessairement positif tant que la quantité $\alpha$ est à la fois plus grande ou plus petite que chacune des quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ qu’au contraire il est nécessairement négatif si la quantité $\alpha$ se trouve entre les deux quantités $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ c’est-à-dire plus grande que l’une d’entre elles et plus petite que l’autre. Or la substi-