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tution de $\alpha _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ donne

$(\alpha _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1}),$

et la substitution de $\beta _{1},$ au lieu de $x$ dans la même fonction donne

$(\beta _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\beta )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\beta _{1})\,;$

donc le produit de ces deux quantités, savoir la valeur de $\operatorname {F} (\alpha _{1})\times \operatorname {F} (\beta _{1}),$ sera de la forme

$(\alpha _{1}-\alpha )(\beta _{1}-\alpha )(\alpha _{1}-\beta )(\beta _{1}-\beta )(\alpha _{1}-\gamma )(\beta _{1}-\gamma )\ldots \times f(\alpha _{1})\times f(\beta _{1}).$

Donc ce produit sera positif si aucune des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombe entre les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ et il sera négatif si une seule des quantités $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ tombe entre les quantités $\alpha _{1},\beta _{1},$ puisque les quantités $f(\alpha _{1})$ et $f(\beta _{1})$ sont toujours essentiellement positives ; par conséquent, les valeurs de $\operatorname {F} (\alpha _{1})$ et de $\operatorname {F} (\beta _{1})$ seront de même signe dans le premier cas et de signe différent dans le second.

On démontrera de la même manière que la substitution de $\gamma _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à celui de la substitution de $\beta _{1},$ suivant qu’aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne tombera entre $\alpha _{1},$ et $\gamma _{1}$ ou qu’il en tombera une, et ainsi de suite.

Enfin, si l’on désigne par $\upsilon _{1}$ la dernière en grandeur des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ on trouvera, par l’expression de $\operatorname {F} (x)$ en facteurs, que le résultat de la substitution de $\upsilon _{1}$ au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ sera positif ou négatif, suivant qu’aucune des racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ne sera plus petite que $\upsilon$ ou qu’il y en aura une plus petite que $\upsilon _{1},$ le nombre de ces racines étant pair, et que, lorsque ce nombre sera impair, le même résultat sera au contraire positif ou négatif, suivant qu’une des mêmes racines sera plus petite que $\upsilon _{1}$ ou qu’aucune d’elles ne sera moindre que $\upsilon _{1}.$ Or, comme le nombre des racines imaginaires est toujours pair, le nombre des racines réelles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sera nécessairement pair ou impair, suivant que le nombre total des