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racines, c’est-à-dire le degré $m$ de l’équation, sera lui-même pair ou impair.

7. On pourra donc toujours juger de la nature des racines d’une équation quelconque de degré $m,$ $\operatorname {F} (x)=0,$ par celles de l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0,$ qui est toujours d’un degré moindre d’une unité, car, ayant les racines réelles $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,\upsilon _{1}$ de celle-ci, qu’on suppose rangées par ordre de grandeur, il n’y aura qu’à les substituer successivement au lieu de $x$ dans l’équation proposée ; et l’on en conclura :

1^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine plus grande que $\alpha _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\alpha _{1})$ sera $<$ ou $>0\,;$

2^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\beta _{1})$ sera de signe différent ou de même signe que $\operatorname {F} (\alpha _{1})\,;$

3^o Qu’elle aura ou n’aura pas une racine comprise entre $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},$ selon que $\operatorname {F} (\gamma _{1})$ sera de signe différent ou de même signe que $\operatorname {F} (\beta _{1}),$ et ainsi de suite ;

4^o Et qu’enfin elle aura ou n’aura pas une racine plus petite que $\upsilon _{1},$ selon que $\upsilon _{1}$ sera positif ou négatif dans le cas de $m$ impair, et négatif ou positif dans le cas de $m$ pair.

Ainsi l’on connaîtra par ces règles non-seulement le nombre des racines réelles de la proposée, mais encore leurs limites, et, si l’on veut compléter ces limites à l’égard des racines plus grandes que $\alpha _{1}$ ou plus petites que $\upsilon _{1},$ il n’y aurait qu’à chercher encore, par les méthodes du Chapitre IV (n^o 12), les limites des racines positives et des racines de l’équation proposée.

Nous remarquerons ici, à l’occasion des règles données dans cet endroit d’après Newton et Maclaurin pour trouver ces limites, que Rolle les connaissait déjà, comme on le voit par les Chapitres V et VI du second Livre de son Algèbre.

8. Nous avons supposé jusqu’ici que l’équation proposée pouvait avoir des racines imaginaires mêlées avec les réelles ; examinons présentement ce qui doit résulter de la supposition que toutes ses racines soient réelles.