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Il est d’abord évident que l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ du degré aura $m$ racines réelles et que l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0$ du degré $m-1$ aura aussi nécessairement $m-1$ racines réelles, puisque, entre deux racines réelles consécutives de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ il tombe toujours une racine réelle de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0.$ Par la même raison, la seconde équation dérivée $\operatorname {F} ''(x)=0$ aura aussi nécessairement toutes ses racines réelles, et ainsi de suite.

Ainsi la première condition pour qu’une équation ait toutes ses racines réelles est que ses équations dérivées aient aussi toutes leurs racines réelles ; mais celles-ci pourraient avoir toutes leurs racines réelles sans que l’équation primitive en eût aucune.

Supposons donc que les $m-1$ racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0$ soient toutes réelles, et voyons quelles sont les conditions nécessaires pour que les $m$ racines $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ soient aussi nécessairement réelles. Puisque nous avons démontré, en général, que les racines réelles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ ne peuvent tomber plus d’une à la fois dans chaque intervalle entre deux racines consécutives de l’équation $\operatorname {F} '(x)=0,$ et qu’il ne peut y en avoir aussi qu’une plus grande et une plus petite que la plus grande et la plus petite de cette équation, il est encore évident que, lorsque ses racines sont toutes réelles et au nombre de $m,$ elles doivent nécessairement être telles que $\alpha$ soit plus grande que $\alpha _{1},$ que $\beta$ tombe entre $\alpha _{1}$ et $\beta _{1},$ que $\gamma$ tombe entre $\beta _{1}$ et $\gamma _{1},$ et ainsi de suite. Au contraire, si elles n’étaient pas toutes réelles, comme le nombre des réelles ne pourrait alors surpasser $m-2$ et serait par conséquent moindre que celui des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ il est visible que la même disposition ne pourrait plus avoir lieu et qu’il y aurait nécessairement quelque intervalle entre ces desnières racines dans lequel il ne tomberait aucune de celles de l’équation $\operatorname {F} (x)=0,$ ou au moins qu’aucune de celles-ci ne serait plus grande ou plus petite que la plus grande ou la plus petite des racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots .$

Donc, par ce qui a été démontré ci-dessus, si l’on substitue sucessivement au lieu de $x$ dans $\operatorname {F} (x)$ toutes les racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ on