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aura nécessairement dans le premier cas

$\operatorname {F} (\alpha _{1})<0,\quad \operatorname {F} (\beta _{1})>0,\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})<0,\quad \ldots ,$

et, dans le second cas, il y aura une ou plusieurs de ces conditions qui n’auront pas lieu.

D’un autre côté, en substituant successivement les mêmes racines $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots$ dans la seconde fonction dérivée $\operatorname {F} ''(x),$ on aura toujours, comme on l’a vu plus haut

$\operatorname {F} ''(\alpha _{1})>0,\quad \operatorname {F} ''(\beta _{1})<0,\quad \operatorname {F} ''(\gamma _{1})>0,\quad \ldots .$

Donc, en combinant ces conditions avec les, précédentes, on en conclura que, lorsque les racines de l’équation donnée $\operatorname {F} (x)=0$ sont toutes réelles, les quantités

$\operatorname {F} (\alpha _{1})\times \operatorname {F} ''(\alpha _{1}),\quad \operatorname {F} (\beta _{1})\times \operatorname {F} ''(\beta _{1}),\quad \operatorname {F} (\gamma _{1})\times \operatorname {F} ''(\gamma _{1}),\quad \ldots$

seront toutes négatives, et qu’au contraire il y en aura nécessairement de positives si l’équation donnée a des racines imaginaires.

On aurait le même résultat si l’on considérait les quotients

${\frac {\operatorname {F} (\alpha _{1})}{\operatorname {F} ''(\alpha _{1})}},\quad {\frac {\operatorname {F} (\beta _{1})}{\operatorname {F} ''(\beta _{1})}},\quad \ldots ,$

et en général des fonctions de la forme

$\mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\alpha _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\alpha _{1})\right]^{\nu },\quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (\beta _{1})\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(\beta _{1})\right]^{\nu },\quad \ldots ,$

$\mathrm {M}$ étant un coefficient positif ou une fonction quelconque essentiellement positive, et $\mu ,\nu$ des nombres entiers impairs positifs ou négatifs.

Or, si l’on fait

$\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x)=y,\quad \mathrm {ou,\ en\ g{\acute {e}}n{\acute {e}}ral,} \quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (x)\right]^{\mu }\times \left[\operatorname {F} ''(x)\right]^{\nu }=y,$

et qu’on élimine ensuite $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x)=0,$

dont les racines sont $\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\ldots ,$ on aura une équation en $y$ du même