Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 8.djvu/197

degré que cette équation, et dont les racines seront les valeurs de $y$ qui résulteraient de la substitution successive des racines $\alpha _{1},$ à la place de $x.$ Donc, si ces valeurs sont toutes négatives, l’équation en $y$ n’aura que des racines négatives, et, par conséquent, tous ses termes auront le signe $+.$ Et réciproquement, si tous les termes de cette équation ont le signe $+,$ elle n’aura que des racines négatives, et les valeurs de $y$ seront toutes négatives.

9. On peut conclure de là que les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sont que l’équation dérivée

$\operatorname {F} '(x)=0$

ait toutes ses racines réelles, et que l’équation en $y$ résultante de l’élimination de $x$ au moyen de cette dernière équation et de l’équation

$\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x)=y,\quad \mathrm {ou} \quad \mathrm {M} \left[\operatorname {F} (x)\right]^{\mu }\left[\operatorname {F} ''(x)\right]^{\nu }=y$

ait tous ses termes positifs.

En appliquant les mêmes raisonnements à l’équation dérivée $\operatorname {F} '(x)=0,$ on en conclura aussi que les caractères de la réalité de ses racines sont que la seconde équation dérivée

$\operatorname {F} ''(x)=0,$

ait toutes ses racines réelles, et que l’équation en $y$ résultante de l’élimination de $x$ par le moyen de celle-ci et de l’équation

$\operatorname {F} '(x)\times \operatorname {F} ''(x)=y$

ait tous ses termes positifs, et ainsi de suite.

Donc enfin, pour avoir tous les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0\,:$

1^o On fera

$y=\operatorname {F} (x)\times \operatorname {F} ''(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '(x)=0\,;$

on aura la première équation en $y.$