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2^o On fera

$y=\operatorname {F} '(x)\times \operatorname {F} '''(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} ''(x)=0\,;$

on aura la seconde équation en $y.$

3^o On fera

$y=\operatorname {F} ''(x)\times \operatorname {F} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(x),$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\operatorname {F} '''(x)=0\,;$

on aura la troisième équation en $y,$ et ainsi de suite.

Ces équations en $y$ seront au nombre de $m-1$ si l’équation primitive $\operatorname {F} (x)=0$ est du degré $m,$ parce que la $m$^ième fonction dérivée de $\operatorname {F} (x)$ sera constante et ne contiendra plus $x$.

10. Cela posé, les caractères de la réalité des racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ se réduiront à ce que tous les termes de ces différentes équations en $y$ soient positifs, c’est-à-dire du même signe que le premier dans chaque équation.

Or il est aisé de voir que, l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ étant du degré $m,$ les fonctions dérivées $\operatorname {F} '(x),\operatorname {F} ''(x),\ldots$ seront successivement des degrés $m-1,\ m-2,\ \ldots ,$ et que les équations en $y$ seront aussi de ces mêmes degrés ; elles fourniront, par conséquent, chacune autant de conditions, de sorte que le nombre total des conditions sera

$(m-1)+(m-2)+(m-3)+\ldots ,\quad {\text{ou}}\quad 1+2+3+\ldots +(m-1)={\frac {m(m-1)}{2}}.$

Nous avons déjà vu (Chap. V, n^o 28) qu’on peut déduire les caractères de la réalité de toutes les racines d’une équation de son équation des différences, laquelle doit avoir pour cela tous ses termes alternativement positifs et négatifs, ce qui donne autant de conditions qu’il y a d’unités dans le degré de cette équation ; de sorte que, $m$ étant le degré de l’équation proposée, ${\frac {m(m-1)}{2}}$ sera le nombre des conditions