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et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{'}}=0,\quad {\text{ou}}\quad x+\mathrm {A} =0\,;$

on aura l’équation en $y$

$y+\mathrm {A^{2}-B} =0.$

Donc

$\mathrm {A^{2}-B} >0$

sera la condition de la réalité des racines de l’équation proposée.

Pour l’équation du troisième degré

$x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura d’abord la condition précédente ; ensuite on fera $y=2.3\mathrm {X} _{_{'}}\mathrm {X} _{_{''}},$ savoir

${\begin{aligned}y=&(x+\mathrm {A} )\left(x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} \right)\\=&x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+3\mathrm {\left(A^{2}+B\right)} x^{2}+\mathrm {\left(3AB+C\right)} x+\mathrm {AC} ,\end{aligned}}$

et l’on éliminera $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{''}}=0,\quad {\text{ou}}\quad x^{2}+2\mathrm {A} x+\mathrm {B} =0\,;$

on trouvera cette équation du second degré

$y^{2}+2(\mathrm {A} a-b)y+a^{2}\mathrm {B} -2ab\mathrm {A} +b^{2}=0,$

en faisant pour abréger

${\begin{aligned}a=&\mathrm {2A^{3}-3AB+C} ,\\b=&\mathrm {A^{2}B-2B^{2}+AC} \,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura de plus ces deux conditions

$\mathrm {A} a-b>0,\quad a^{2}\mathrm {B} -2ab\mathrm {A} +b^{2}>0.$

Pour l’équation du quatrième degré

$x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+6\mathrm {B} x^{2}+4\mathrm {C} x+\mathrm {D} =0,$

on aura d’abord les trois conditions précédentes ; ensuite on fera

$y=\left(x^{2}a+2\mathrm {A} x+\mathrm {B} \right)\left(x^{4}+4\mathrm {A} x^{3}+6\mathrm {B} x^{2}+4\mathrm {C} x+\mathrm {D} \right),$