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et, éliminant $x$ au moyen de l’équation

$\mathrm {X} _{_{'''}}=0\quad {\text{ou}}\quad x^{3}+3\mathrm {A} x^{2}+3\mathrm {B} x+\mathrm {C} =0,$

on aura une équation en $y$ du troisième degré, qui, étant représentée par

$y^{3}+\mathrm {M} y^{2}+\mathrm {N} y+\mathrm {P} =o,$

donnera de plus les trois conditions

$\mathrm {M>0,\quad N>0,\quad P>0} ,$

et ainsi de suite.

12. Au reste, nous ne devons pas oublier une très-belle conséquence que De Gua a tirée de sa théorie ; voici en quoi elle consiste.

Si dans l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ on substitue $a+z$ à la place de $x,$ on a, par la formule du développement des fonctions, la transformée

$\operatorname {F} (a)+{\frac {\operatorname {F} '(a)}{1}}z+{\frac {\operatorname {F} ''(a)}{2}}z^{2}+{\frac {\operatorname {F} '''(a)}{2.3}}z^{3}+\ldots +z^{m}=0,$

dont on peut faire disparaître un terme quelconque, contenant par exemple la puissance $z^{n},$ en déterminant $a$ de manière que l’on ait $\operatorname {F} ''(a)=0.$ Or, nous venons de voir que, si toutes les racines de l’équation $\operatorname {F} (x)=0$ sont toutes réelles, les valeurs de $\operatorname {F} ^{n-1}(x)$ et $\operatorname {F} ^{n+1}(x)$ sont nécessairement de signes contraires pour toutes les valeurs de $x$ qui résultent de l’équation $\operatorname {F} ^{n}(x)=0\,;$ donc aussi les valeurs de $\operatorname {F} ^{n-1}(a)$ et de $\operatorname {F} ^{n+1}(a)$ seront de signes contraires pour toutes les valeurs de $a$ résultantes de l’équation $\operatorname {F} ^{n}(a)=0.$ D’où il s’ensuit que, si l’on fait évanouir un terme quelconque de la transformée en $z,$ les deux termes voisins auront nécessairement des signes différents si la proposée a toutes ses racines réelles ; par conséquent, elle aura des racines imaginaires si les termes voisins de celui qui disparaît ont les mêmes signes, et de là on peut conclure aussi que toute équation à qui il manque des termes a nécessairement des racines imaginaires si les termes voisins de ceux qui manquent sont de même signe.