13. Lorsque toutes les racines de l’équation s’ont réelles, on peut trouver leurs limites sans le secours d’aucune autre équation, par le moyen de la seule règle de Descartes dont nous avons parlé plus haut (no 5) ; car, si l’on diminue, par exemple, toutes les racines d’une équation en de la quantité en y substituant à la place de la transformée en ou en aura autant de variations de signe de moins qu’il y aura de racines positives de l’équation en qui seront devenues négatives dans l’équation en et par conséquent, parmi les racines positives de l’équation en il y en aura autant qui seront moindres que Donc, si l’on forme successivement les transformées en chaque variation de signe qui disparaîtra d’une transformée à l’autre, par exemple de la transformée en à la transformée en indiquera une racine positive moindre que mais non moindre que et par conséquent contenue entre les limites et On pourra trouver ainsi successivement les premières limites des racines positives, et l’on aura de même celles des racines négatives par la considération des permanences dans les transformées en
14. J’ignore si cette remarque avait été faite avant le Mémoire que M. Budan présenta à l’Institut en 1803, et qu’il vient de publier avec des augmentations, sous le titre de Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques. L’Auteur y donne un moyen simple et élégant de former les coefficients des transformées en et, appliquant la règle de Descartes à ces transformées ainsi qu’à d’autres déduites de celles-là, il trouve les limites de toutes les racines et leurs valeurs aussi approchées qu’on veut. On peut dire que cet Ouvrage ne laisse rien à désirer sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles, et il pourrait à cet égard servir de supplément au présent Traité.
Au reste, si l’équation avait des racines imaginaires, il pourrait disparaître des variations de signe d’une transformée à l’autre sans qu’aucune des racines réelles positives devînt négative, comme on peut
