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s’en convaincre aisément par des exemples ; ainsi l’équation

$x^{3}-2x^{2}+6x-11=0$

a pour transformée en $x-1$

$(x-1)^{3}+(x-1)^{2}+5(x-1)-6=0,$

où l’on voit que deux variations de signe ont disparu ; cependant, elle n’a pas de racines entre $0$ et $1.$

Mais, si le nombre des variations de signe qui disparaissent d’une transformée à la suivante était impair, on en pourrait toujours conclure l’existence d’une racine réelle positive, car cela ne peut arriver à moins que le dernier terme pe change de signe. Or il est visible que les derniers termes des transformées en $x-n,$ $x-n-1$ ne sont autre chose que les résultats des substitutions de $n$ et de $n+1$ à la place de $x$ dans la proposée, parce que ces transformées se réduisent à leur dernier terme en y faisant $x=n=n+1\,;$ ainsi il doit nécessairement y avoir une racine réelle entre $n$ et $n+1$ (Chap. I, n^o 1 ). La transformée en $x-2$ de l’équation ci-dessus est

$(x-2)^{3}+4(x-2)^{2}+10(x-2)+1=0,$

qui a une variation de moins que la précédente aussi y a-t-il une racine de la proposée entre $1$ et $2.$