NOTE IX.
SUR LA FORME DES RACINES IMAGINAIRES.
1. Lorsqu’on eut trouvé les formules générales des racines des équations du troisième et du quatrième degré, on remarqua que les racines imaginaires de ces équations se réduisaient, comme celles des équations du second degré, à la forme et étant des quantités réelles, et l’on fut porté à conclure que les racines imaginaires de toutes les équations étaient toujours réductibles à la même formè. Cependant on ne pouvait pas adopter cette proposition générale sans démonstration, et ce n’est qu’après plusieurs tentatives qu’on est parvenu à s’en convaincre par des preuves rigoureuses. Comme ce point de la théorie des équations est un de ceux dont les Géomètres se sont le plus occupés dans ce siècle, j’ai cru qu’on ne serait pas fâché de trouver ici un exposé succinct des différentes recherches qu’il a occasionnées.
2. D’Alembert est le premier qui ait envisagé cette question d’une manière générale dans sa Pièce Sur les Vents et dans les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1746.
Il démontre d’abord qu’une quantité algébrique quelconque, composée de tant d’imaginaires qu’on voudra de la forme peut toujours se réduire à la même forme. Cela se voit facilement pour les quantités formées par multiplication, division et élévation aux puissances entières ; on pourrait le démontrer en général pour les quantités de la forme
